今天分享的是高数第三章微分中值定理与导数的应用的复习思路和小技巧。

首先，先简单讲述一下微分中值定理与导数的应用这一章的知识点，总共包括微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式、函数的单调性和曲线的凹凸性、函数的极值与最大值最小值、曲率等八个小节的知识点内容。同样的我们也画一张思维导图帮助理清知识点脉络结构，这样有利于复习的时候直观获得知识点的内容。Tips：本章节知识点非常重要！！！

微分中值定理与导数的应用知识点梳理

这部分知识点内容繁多，难度较大，并且非常重要，在今后的复习中也会用到本章节的知识点内容。微分中值定理和导数的应用这章节几乎所有的知识点都是在考研出题范围内的，并且像洛必达法则、泰勒公式等等，在之后作题解题过程中会经常用到，所以需要读者认真吃透其中知识点。同样的红色部分是我规划处的重难点知识，需要将其弄懂吃透，将其消化吸收，化为己用。

1：罗尔定理（证明题常考）

定理描述：如果 R 上的函数 f(x) 满足以下条件：

（1）在闭区间 [a,b] 上连续。

（2）在开区间 (a,b) 内可导。

（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f&39;(ξ)=0。

如下图：

罗尔定理

证明过程：教科书上使用费马引理进行证明，这里我采用拉格朗日中值定理进行证明（不要求完全照搬，理解即可），后续的拉格朗日中值定理也可以采用罗尔定理进行证明。

罗尔定理证明过程

2：拉格朗日中值定理（使用非常广泛）

定理描述：如果函数 f(x) 满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续。

（2）在开区间(a,b)内可导。

（3）那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式 ：f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a) 成立，或者是：

f′(ξ) =(f(b)-f(a)) / (b-a) 成立，又或者是存在0<θ<1，使：f(b)-f(a) = f′(a+θ(b-a)) (b-a)。

第一个式子是拉格朗日中值公式，后面两个式子是第一个式子的简单变形。

如下图：

拉格朗日中值定理

证明过程：

拉格朗日中值定理证明过程

3：柯西中值定理（考的相对没有上面两个公式频率高，常考证明题）

定理描述：设函数f(x)满足：

（1）在闭区间[a,b]上连续。

（2）在开区间(a,b)内可导。

（3）对于任意x∈(a,b)，g&39;(x)≠0，那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使等式

柯西中值公式

成立。

证明过程：

柯西中值定理证明过程

4：洛必达法则

洛必达法则

常见类型如下：

（1）0比0型

0比0型

（2）∞比∞型

∞比∞型

（3）0乘∞型

0乘∞型

（4）∞减∞型

∞减∞型

例子：

∞减∞型举例

（5）1的∞次方型

1的∞次方型

例子：

1的∞次方型举例

（6）0的0次方型

0的0次方型举例

（7）∞的0次方型

∞的0次方型举例

5：泰勒公式

泰勒中值定理1：

泰勒中值定理1

证明1（带有佩亚诺余项）：

带有佩亚诺余项证明

泰勒中值定理2：

泰勒中值定理2

证明2（带有拉格朗日余项）：

带有拉格朗日余项证明

麦克劳林公式：泰勒公式的特殊形式

麦克劳林公式

常见的麦克劳林公式如下：

常用的麦克劳林公式

6：函数单调性的判定法

判定定理

常用方法：

常用判定方法

7：曲线的凹凸性与拐点

曲线凹凸性判定定理

凹凸性与拐点

8：函数极值的求法（函数极值定义省略）

极值定理1

极值定理2

极值定理3

求极值的简要过程如下：

（1）先求导。

（2）使导函数等于零，求出自变量x的值。

（3）确定定义域。

（4）画表格。

（5）找出极值。

Tips：注意极值是把导函数中的自变量x值代入原函数所求出的因变量y的值，不是导函数的值。

9：最大值最小值问题

解决过程如下：

（1）求出f(x)在(a,b)内的驻点及不可导点

（2）计算f(x)在上述驻点、不可导点的函数值以及边界值

（3）在其中找出最大值和最小值即为极值

图例：

最大值最小值问题解决步骤

10：弧微分

弧微分公式1：

一般弧微分公式

弧微分公式2：

参数方程弧微分公式

11：曲率及其计算公式

曲率一般计算公式

参数方程如图

参数方程的曲率计算公式

12：曲率圆和曲率

曲率圆和曲率关系

补充：曲率中心计算公式

曲率中心计算公式：

曲率中心计算公式

?以上便是我分享的关于微分中值定理与导数的应用一章的内容经验，希望可以对考研学子起到一定帮助。今后我会继续分享其他的章节复习经验，希望多多关注一下，谢谢！