运用等腰三角形 “三线合一” 的性质证明线段相等、角相等或垂直关系，不仅可以减少证全等的次数，而且还可以简化解题过程 .

一、利用 “三线合一” 证明线段相等

1.如图，已知在 △ABC 中，AB = AC , 点 D，E 在边 BC 上，且 AD = AE .

求证：BD = CE .

证明：过点 A 作 AH⊥BC 于点 H .

∵ AB = AC , AH⊥BC，

∴ BH = CH，

同理可证，DH = EH，

∴ BH - DH = CH - EH ,

∴ BD = CE .

2.如图，在等腰直角 △ABC 中，∠A = 90°，D 为 BC 边上的中点，E，F 分别为 AB , AC 边上的点，

且满足 EA = CF .

求证：DE = DF .

证明：连接 AD .

∵ △ABC 为等腰直角三角形，∠BAC = 90°，D 为 BC 边上的中点，

∴ BD = CD = AD , AD 平分 ∠BAC，

∴ ∠EAD = ∠C = 45°，

在 △ADE 和 △CDF 中，

AE = CF , ∠EAD = ∠C，AD = CD .

∴ △ADE ≌ △CDF（SAS），

∴ DE = DF .

二、利用 “三线合一” 证明角相等

3.如图，在 △ABC 中，AB = AC , AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E .

求证：∠CBE = ∠BAD .

证明：

∵ AB = AC , AD 是 BC 边上的中线，

∴ AD⊥BC，∠CAD = ∠BAD，

∴ ∠CAD + ∠C = 90° .

又 ∵ BE⊥AC，

∴ ∠CBE + ∠C = 90°，

∴ ∠CBE = ∠CAD .

∴ ∠CBE = ∠BAD .

4.如图，在 △ACB 中，AC = BC , AD 为 △ABC 的高线，CE 为 △ABC 的中线 .

求证：∠DAB = ∠ACE .

证明：

∵ AC = BC , CE 为 △ABC 的中线，

∴ ∠CAB = ∠B，CE⊥AB，

∴ ∠CAB + ∠ACE = 90° .

∵ AD 为 △ABC 的高线，

∴ ∠D = 90°，

∴ ∠DAB + ∠B = 90°，

∴ ∠DAB = ∠ACE .

三、利用 “三线合一” 证明垂直关系

5.如图，在 △ABC 中，AC = 2AB , AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D，E 是 AD 上一点，且 EA = EC .

求证：EB⊥AB .


证明：过点 E 作 EF⊥AC 于点 F .

∵ EA = EC ,

∴ AF = FC = 1/2 AC .

∵ AC = 2 AB，

∴ AF = AB .

∵ AD 平分 ∠BAC，

∴ ∠BAD = ∠CAD .

在 △BAE 和 △FAE 中，

AB = AF , ∠BAD = ∠CAD，AE = AE ,

∴ △ABE ≌ △AFE（SAS），

∴ ∠ABE = ∠AFE = 90°，

∴ EB⊥AB .